Explicit Solution and Fine Asymptotics for a Critical Growth-Fragmentation Equation

We give here an explicit formula for the following critical case of the growth-fragmentation equation ∂ ∂t u(t, x) + ∂ ∂x (gxu(t, x)) + bu(t, x) = bα2u(t, αx), u(0, x) = u0(x), for some constants g > 0, b > 0 and α > 1 the case α = 2 being the emblematic binary fission case. We discuss the links between this formula and the asymptotic ones previously obtained in [8], and use them to clarify how periodicity may appear asymptotically. Résumé. Nous donnons ici une solution explicite de l’équation de croissance-fragmentation dans le cas critique suivant ∂ ∂t u(t, x) + ∂ ∂x (gxu(t, x)) + bu(t, x) = bα2u(t, αx), u(0, x) = u0(x), pour des constantes g > 0, b > 0 et α > 1 le cas α = 2 correspondant au cas emblématique de la fission binaire. Malgré l’absence de comportement auto-similaire ou stationnaire, nous employons cette formule pour mettre en évidence un comportement asymptotique périodique, de période variable en fonction de la courbe (t, x(t) = ert) suivie. Nous discutons également les liens entre cette formulation et celles obtenues précédemment dans [8]. Introduction Growth-fragmentation equations appear in many applications, ranging from protein polymerisation to internet protocols or cell division equation. Under a fairly general form it may be written as follows ∂ ∂t u(t, x) + ∂ ∂x (